거리 - 역제곱법칙 > 별보기

별이 너무 멀리 떨어져 있으면 삼각시차를 이용한 별의 거리의 측정은 거의 불가능하다. 이때는 간접적인 방법으로 별의 밝기의 역제곱법칙을 이용하게 된다. 이 방법은 지구에서 별 사이의 거리가 멀어지면 멀어질수록 별의 밝기가 어두워진다는 것이 이용하는 것이다. 만약 별의 실제 밝기(방출하는 에너지량)를 알고 있다면 관측자가 그 별을 보았을 때 실제보다 얼마나 어두워졌는가 알아내면 거리를 알아낼 수 있을 것이다. 별에서 발산된 빛(에너지)은 멀어지면 멀어질수록 그 빛이 지나가는 표면적의 크기는 커지기 때문에 더욱 어두워진다.

별의 겉보기밝기(플럭스;flux)는 거리의 제곱에 반비례한다. 별의 겉보기 밝기(flux)란 1초동안 감지기(예를들어 우리의 눈, CCD)의 단위표면적 1cm² 면에 도달하는 에너지의 양이다. 밑에 보여지는 그림처럼 어떤 점에서 빛에너지가 사방으로 방사해 나간다고 하자. 그 빛은 처음 1초동안 작은 구에 도달할 것이다. 그 구의 단위 표면적 1cm²에 통과하는 에너지량이 1이라고 한다면, 그 다음 1초동안 빛은 2배의 거리를 가게 되고 단위표면적 1cm²을 통과하는 에너지량은 처음의 1/4로 줄어들게 된다.마찬가지로 3초가 되면 거리는 3배가 되고 단위표면적당 에너지량은 1/9로 줄어든다. 그 이유는 빛에너지의 총량은 변하지 않으며 구의 표면적의 넓이가 A = 4πr² 이기 때문이다.

다시 정리하면 각 구를 통과하는 빛에너지량은 같다.

즉, L₁ = L₂ (L₁, L₂는 각 구를 통과하는 빛에너지의 총량) -------- ①

또, 구의 표면적은 4p × (해당 구의 반경)² 이므로 ----------------②

①,②로부터

F₁ × 4p r₁² = F₂ ×4p r₂² (F_1,F₂ 는 각 구의 플럭스이고 r₁,r₂는 해당 구의 반경이다.)

결과적으로 F₁ = F₂ × ( r₂ / r₁)² 이다.

위의 식에서 F₂와 r₂을 알고 있으면(이들은 기준점에서의 값이다) F₁과 r₁의 관계가 역제곱관계라는 것을 알 수 있다. 바로 거리가 증가하면 플럭스(빛의 겉보기 밝기)는 거리의 제곱에 대해 감소한다.